Définitions.

• Soit $f$ une fonction et $a$ un point intérieur à $\mathcal{D}_f$.
  Dire que $f$ est dérivable en $a$, signifie qu'il existe un nombre réel $l$ tel que: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=l$.
  Ce qui revient à dire aussi: $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=l$.
  • Le nombre $l$ s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$, on note $l=f^{'}(a)$.
  • Lorsque $f$ est dérivable pour tout $x\in I$, avec $I\subset\mathcal{D}_f$ un intervalle inclu dans le domaine de $f$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$.
• Si $f$ est une fonction dérivable sur $I\subset\mathcal{D}_f$, la fonction dérivée de $f$ sur $I$ est la fonction notée $f^{'}$ qui à tout $x\in I$ associe le nombre réel $f^{'}(x)$.
  $f^{'}:x\to f^{'}(x)$.

Opérations sur les dérivées.

• Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $I\subset\mathcal{D}_f$, et soit $\alpha\in\mathbb{R}$.
  Alors $u+v$, $u-v$, $uv$, et $\alpha u$ sont dérivables sur $I$, et on a:
  • $(u+v)^{'}=u^{'}+v^{'}$ $~~~~~~~~~~~~~~$ $(u-v)^{'}=u^{'}-v^{'}$.
  • $(uv)^{'}=u^{'}v+uv^{'}$ $~~~~~~~~~~~~~~$ $(\alpha u)^{'}=\alpha u^{'}$.
• Si de plus, $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$ et:
  • $\bigg(\dfrac{1}{v}\bigg)^{'}=-\dfrac{v^{'}}{v^2}$
  • $\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)^{'}=\dfrac{u^{'}v-uv^{'}}{v^2}$

Dérivées des fonctions usuelles.

Fonction $f$	Dérivée $f^{'}$	Domaine de dérivabilité de $f$
$f(x)=k$	$f^{'}(x)=0$	$\mathbb{R}$
$f(x)=x^n$	$f^{'}(x)=nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$ si $n\geq 1$ et $\mathbb{R}^\star$ si $n\leq -1$
$f(x)=\frac{1}{x}$	$f^{'}(x)=-\frac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^\star$
$f(x)=\sqrt{x}$	$f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$
$f(x)=\sin{x}$	$f^{'}(x)=\cos{x}$	$\mathbb{R}$
$f(x)=\cos{x}$	$f^{'}(x)=-\sin{x}$	$\mathbb{R}$
$f(x)=\tan{x}$	$f^{'}(x)=1+\tan{x}^2$	$\mathbb{R}-\{\frac{\pi}{2}+k\pi; k\in\mathbb{Z}\}$
$f(x)=|x|$	$f^{'}(x)=1$ si $x>0$ et $f^{'}(x)=-1$ si $x < 0$	$\mathbb{R}^\star$

Théorème.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I\subset\mathcal{D}_f$.

• Si $f^{'}>0$ sur $I$, sauf peut-être en un nombre fini de points où $f^{'}$ s'annule , alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f^{'} < 0$ sur $I$, sauf peut-être en un nombre fini de points où $f^{'}$ s'annule , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f^{'}=0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Définitions.

• Soit $f:I\to\mathbb{R}$ et $c\in I$, dire que $f(c)$ est un maximum local de $f$ en $c$ signifie qu'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $c$ tel que pour tout $x\in J\subset I$, $f(x)\leq f(c)$.
• Soit $f:I\to\mathbb{R}$ et $c\in I$, dire que $f(c)$ est un minimum local de $f$ en $c$ signifie qu'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $c$ tel que pour tout $x\in J\subset I$, $f(x)\geq f(c)$.
• Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local.

Théorème.

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, $c\in I$.

• Si $f(c)$ est un extremum local, alors $f^{'}(c)=0$.
• Si $f^{'}(c)=0$ et si $f^{'}$ change de signe, alors $f(c)$ est un extremum local.

Plan d'étude d'une fonction.

• Détermination de l'ensemble de définition de $f$ ($\mathcal{D}_f$).
• Etude des limites de $f$ aux bornes de $\mathcal{D}_f$.
• Etude du domaine de dérivation, calcul de la fonction dérivée, étude des variations de $f$.
• Détermination des asymptotes verticales, horizontales. Position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport aux asymptotes.
• Tracer la courbe représentative de $f$.

Exemple d étude d'une fonction.

Etudier la fonction $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$.

Voir la correction. Retour au cours

• Détermination du domaine de définition de $f$.
  le nombre $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$ existe si et seulement si $x^2-1\not=0$.
  Résolvons l'équation $x^2-1=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2=1$ $\Leftrightarrow$ $x=1$ ou $x=-1$.
  Nous en déduisons que le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{R}-\{-1;1\}$. On note cela $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{-1;1\}$.
• Etude des limites de $f$ au bornes du domaine $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{-1;1\}$.
  • En $+\infty$, calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$. Nous sommes en présence d'une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$.
    $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$ $=\dfrac{x}{x\times(x-\dfrac{1}{x})}=\dfrac{1}{x-\dfrac{1}{x}}$. Nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\dfrac{1}{x})=+\infty$.
    Donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
  • En $-\infty$, on a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\dfrac{1}{x})=-\infty$.
    Donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.
  • En $-1^+$, et en $-1^-$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to -1}(x^2-1)=0$, nous devons étudier le signe de l'expression $x^2-1$.
    
    Nous savons que $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
    Il est facile avec un tableau de signes d'avoir le signe de $x^2-1$.
    $x-1=0$ $\Leftrightarrow$ $x=1$.
    $x+1=0$ $\Leftrightarrow$ $x=-1$.
    

    
    $\displaystyle\lim_{x\to -1^-}x=\displaystyle\lim_{x\to -1^+}x=\displaystyle\lim_{x\to -1}x=-1$ et $\displaystyle\lim_{x\to -1^-}(x^2-1)=0^+$.
    Donc $\displaystyle\lim_{x\to -1^-}\dfrac{x}{x^2-1}=-\infty$.
    Nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to -1^+}(x^2-1)=0^-$, donc $\displaystyle\lim_{x\to -1^+}\dfrac{x}{x^2-1}=+\infty$.
  • En $1^+$, et en $1^-$. Comme $\displaystyle\lim_{x\to 1}(x^2-1)=0$, nous devons étudier le signe de l'expression $x^2-1$, heureusement le travail a été fait pour $-1$.
    $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}x=\displaystyle\lim_{x\to 1^+}x=\displaystyle\lim_{x\to1}x=1$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}(x^2-1)=0^-$.
    Donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\dfrac{x}{x^2-1}=-\infty$.
    Nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(x^2-1)=0^+$, donc $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x}{x^2-1}=+\infty$.
• Etude du domaine de dérivation, calcul de la fonction dérivée, étude des variations de $f$.
  les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto x^2-1$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $x^2-1\not=0$, pour tout $x\in\mathbb{R}-\{-1;1\}$.
  Donc la fonction $f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}$ est dérivable sur $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{-1;1\}$.
  
  Pour tout $x\in\mathbb{R}-\{-1;1\}$, on a $f^{'}(x)=\dfrac{1\times(x^2-1)-x\times(2x)}{(x^2-1)^2}$ $=\dfrac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}$ $=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$.
  Pour tout $x\in\mathbb{R}-\{-1;1\}$, on a $x^2+1>0$ et $(x^2-1)^2>0$, donc $f^{'}(x)=-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2} < 0$. Nous avons donc le tableau de variations de $f$, ci-contre.

  
• Détermination des asymptotes verticales, horizontales. Position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport aux asymptotes.
  
  • La droite $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.
  • Les droites $x=-1$ et $x=1$ sont des asymptotes verticales.
  • Représentation de $\mathcal{C}_f$.
    

    Voir la courbe $\mathcal{C}_f$.

Composition de fonctions.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions. la fonction qui à $x$ fait correspondre "quand cela est possible" le nombre réel $g[f(x)]$ se note $f\circ g$ (lire " g rond f" ). $f\circ g:x\mapsto g[f(x)]$.

Remarque:

L'écriture $g\circ f(x)=g[f(x)]$ n'a de sens que si $x\in\mathcal{D}_f$ et $f(x)\in\mathcal{D}_g$.
Donc l'ensemble de définition de $g\circ f$ est constitué de tous les réels $x$ tels que:

• $x\in\mathcal{D}_f$,
• $f(x)\in\mathcal{D}_g$.

On sait que $\mathcal{D}_g=\mathbb{R}-\{-2\}$ et $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}-\{-1\}$, pour que l'expression $g\circ f(x)$ soit définie il faut que $f(x)\not=-2$. Résolvons l'équation $f(x)\not=-2$. $\dfrac{x+3}{x+1}=-2$ $\Leftrightarrow$ $x+3=-2(x+1)$ $\Leftrightarrow$ $3x=-5$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{-5}{3}$
Donc $x\in\mathbb{R}-\{-1\}$ et $x\not=\dfrac{-5}{3}$, ce qui implique que $\mathcal{D}_{g\circ f}=\mathbb{R}-\{\dfrac{-5}{3};-1\}$.
Calculons pour $x\in\mathbb{R}-\{\dfrac{-5}{3};-1\}$ l'expression $g\circ f(x)$.
$g\circ f(x)=\dfrac{\bigg(\dfrac{x+3}{x+1}\bigg)}{\bigg(\dfrac{x+3}{x+1}\bigg)+2}$ $=\dfrac{\bigg(\dfrac{x+3}{x+1}\bigg)}{\bigg(\dfrac{x+3}{x+1}\bigg)+2\times\bigg(\dfrac{x+1}{x+1}\bigg)}$
Donc $g\circ f(x)=\dfrac{\dfrac{x+3}{x+1}}{\dfrac{3x+5}{x+1}}$ $=\dfrac{x+3}{x+1}\times\dfrac{x+1}{3x+5}=\dfrac{x+1}{3x+5}$.

Dérivée d'une fonction composée.

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ et soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ telle que pour tout $x\in I$ alors $f(x)\in J$.
Alors la fonction $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a: $(g\circ f)^{'}(x)=g^{'}[f(x)]\times f^{'}(x)$.

Voir la démonstration Retour au cours

Montrons que pour un point quelconque $a\in I$ le rapport défini par $T(x)=\dfrac{g\circ f(x)-g\circ f(a)}{x-a}$ a pour limite en $a$ le nombre réel $g^{'}[f(a)]\times f^{'}(a)$.

• Prouvons d'abord ceci en supposant que pour tout $x$ d'un voisinage de $a$ et différent de $a$ on ait $f(x)\not=f(a)$.
  Puisque pour $x$ assez proche de $a$ on a $f(x)\not=f(a)$, on peut écrire: $T(x)=\dfrac{g\circ f(x)-g\circ f(a)}{f(x)-f(a)}\times\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
  Or $f$ est dérivable en $a\in I$, donc $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{'}(a)$. Etudions la limite de $\dfrac{g\circ f(x)-g\circ f(a)}{f(x)-f(a)}$ quand $x$ tend vers $a$, on pose:
  $h(x)=\dfrac{g\circ f(x)-g\circ f(a)}{f(x)-f(a)}$ et $k(X)=\dfrac{g(X)-g\circ f(a)}{X-f(a)}$. On remarque que $h(x)=k[f(x)]=k\circ f(x)$.
  On sait que nous avons:
  • $f$ est dérivable en $a\in I$ donc continue en $a$ et donc $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
  • $g$ est dérivable en $b=f(a)\in J$ donc $\lim_{X\to b}\dfrac{g(X)-g\circ f(a)}{X-f(a)}=g^{'}(b)=g^{'}(f(a))$.
  D'après le théorème déjà vu sur la composition des limites, puisque $h(x)=k[f(x)]=k\circ f(x)$ nous avons: $\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to f(a)}k(x)=g^{'}(f(a))$.
  Donc $\lim_{x\to a}T(x)=\lim_{x\to a}\dfrac{g\circ f(x)-g\circ f(a)}{f(x)-f(a)}\times\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ $=\lim_{x\to a}\dfrac{g\circ f(x)-g\circ f(a)}{f(x)-f(a)}\times\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ $=g^{'}[f(a)]\times f^{'}(a)$.
  
• Donnons la preuve du théorème quand pour tout $x$ appartenant à un voisinage de $a$ nous avons $f(x)=f(a)$, c'est à dire $f$ est localement constante.\newline Si $f$ est localement constante en $a$, alors il en est de même de $g\circ f$ en $a$, donc nous avons simultanément $f^{'}(a)=0$ et $(g\circ f)^{'}(a)=0$. Donc nous avons la relation $(g\circ f)^{'}(a)=g^{'}[f(a)]\times f^{'}(a)$. verifiée puisque $0=g^{'}[f(a)]\times 0$.

Exercice.

Calculer la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$ donné:

• $f(x)=e^{(x^3+x^2)}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
• $f(x)=\ln(5x+3)$ pour tout $x\in]\frac{-3}{5};+\infty[$.

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Dérivation de $x\to\sqrt{u(x)}$.

Soit $u$ une fonction dérivable sur une partie $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $u(x)>0$ pour tout $x\in I$.
Alors La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a: $f^{'}(x)=\dfrac{u^{'}(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. Voir la démonstration Retour au cours

Soit $u$ une fonction dérivable sur une partie $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $u(x)>0$ pour tout $x\in I$.
Posons $f$ définie sur $I$ par $f(x)=\sqrt{u(x)}$ $=v\circ u(x)$, avec $v(x)=\sqrt{x}$.
Nous savons que la fonction $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x\in I$, $u(x)\in]0;+\infty[$. Les conditions du théorème sur la dérivation d'une fonction composée sont vérifiées.
On a donc $f'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$, or $v'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}$ pour tout $y>0$.
Donc $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}}\times u'(x)$ $=\dfrac{u^{'}(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.

Exercice.

Calculer la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$ donné:

• $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
• $f(x)=\sqrt{3x-1}$ pour tout $x\in]\frac{1}{3};+\infty[$.
• $f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}$ pour tout $x\in]-\infty;0[\cup]2;+\infty[$.

Voir la démonstration Retour au cours

Dérivation de $x\to u(x)^n$, avec $n\in\mathbb{Z}$ et $n\not=-1$.

• Si $n\geq 1$, la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=[u(x)]^n$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a: $f^{'}(x)=n[u(x)]^{n-1}\times u^{'}(x)$.
• Si $n < -1$, et si de plus la fonction $u$ ne s'annule pas sur $I$, la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=[u(x)]^n$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a: $f^{'}(x)=n[u(x)]^{n-1}\times u^{'}(x)$.

Voir la démonstration Retour au cours

• Soit $n\geq 1$, posons la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=[u(x)]^n$.
  On peut remarquer que $f(x)=v\circ u(x)$, avec $v(x)=x^n$.
  La fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc toutes les conditions d'utilisation du théorème sur la dérivation d'une fonction composée sont vérifiés.
  On a donc $f'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$, or $v'(y)=ny^{n-1}$ pour tout $y\in\mathbb{R}$.
  Donc $f^{'}(x)=n[u(x)]^{n-1}\times u^{'}(x)$.
• Soit $n\geq 1$, posons la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=[u(x)]^n$. Supposons de plus que la fonction $u$ ne s'annule pas sur $I$.
  On peut remarquer que $f(x)=v\circ u(x)$, avec $v(x)=x^n=\dfrac{1}{x^{-n}}$.
  Nous savons que la fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}^\star$ et pour tout $x\in I$, $u(x)\not=0$. Les conditions du théorème sur la dérivation d'une fonction composée sont vérifiés.
  On a donc $f'(x)=v'[u(x)]\times u'(x)$, or $v'(y)=ny^{n-1}$ pour tout $y\in\mathbb{R}^\star$ $(y\not=0)$.
  Donc $f^{'}(x)=n[u(x)]^{n-1}\times u^{'}(x)$.

  Remarque.

  Cela semble être la même formule que dans le cas $n\geq1$, mais dans le cas $n < -1$, l'expression $x^n$ désigne en fait la fraction $\dfrac{1}{x^{-n}}$.
  Donc l'expression $f^{'}(x)=n[u(x)]^{n-1}\times u^{'}(x)$, n'est simplemnt qu'une reformulation de la formule suivante:
  $f^{'}(x)=\dfrac{n\times u^{'}(x)}{[u(x)]^{1-n}}$.

Exercice.

Calculer la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$ donné:

• $f(x)=(x^2+3x+5)^{12}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
• $f(x)=\bigg(\dfrac{x}{x-2}\bigg)^5$ pour tout $x\in\mathbb{R}-\{2\}$.
• $f(x)=\dfrac{1}{(x^2+4)^6}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

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Définitions.

• Soit $f$ une fonction dérivable sur $I\subset\mathbb{R}$ sa fonction dérivée $f^{'}$ se note ou parfois $f^{(1)}$, on dit auusi dérivée première.
• Si $f^{'}=f^{(1)}$ est dérivable sur $I$ la fonction dérivée de $f^{'}$ se note $f^{''}$ ou $f^{(2)}$, on appelle $f^{''}=f^{(2)}$ dérivée seconde (ou d'ordre 2) de $f$.
• Par itération, si ,pour un entier $n\in\mathbb{N}$ la fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $I$, on note par $f^{(n+1)}$ la fonction dérivée de la fonction $f^{(n)}$. On a pour tout $n\geq 2$: $f^{(n+1)}=\big(f^{(n)}\big)^{'}$.
  

  Remarque

  En physique on note parfois pour tout $n\geq 2$ $f^{(n)}(x)=\dfrac{d^n f}{dx^n}(x)$.

Exercice.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^5+x^4+x^3+10x+5$; calculer $f^{(4)}(x)$, (la dérivée quatrième de $f$).

Voir la démonstration Retour au cours

Fonctions convexes, concaves.

• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
  On dit que $f$ est convexe sur $I$, lorsque pour tous points $A$ et $B$ distincts de la courbe $\mathcal{C}_f$, le segment $[AB]$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ entre $A$ et $B$.
• Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
  On dit que $f$ est concave sur $I$, lorsque pour tous points $A$ et $B$ distincts de la courbe $\mathcal{C}_f$, le segment $[AB]$ est en dessous de la courbe $\mathcal{C}_f$ entre $A$ et $B$.

Reformulation analytique des définitions de convexité.

• $f$ est convexe sur $I$ $\Leftrightarrow$ Pour tout $a\in I$, $b\in I$ et $t\in[0;1]$, on a: $f\bigg(ta+(1-t)b\bigg)\leq tf(a)+(1-t)f(b)$.
• $f$ est concave sur $I$ $\Leftrightarrow$ Pour tout $a\in I$, $b\in I$ et $t\in[0;1]$, on a: $f\bigg(ta+(1-t)b\bigg)\geq tf(a)+(1-t)f(b)$.

Proposition.

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $I$. les assertions suivantes sont équivalentes:

• La fonction $f$ est convexe sur $I$.
• La courbe représentative de $f$ est entièrement située au dessus de ses tangentes.
• La fonction $f^{'}$ est croissante sur l'intervalle $I$.
• $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$.

Exercice.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}-\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$.

• Montrer que $g^{''}(x)=\dfrac{6}{(x-1)^3}$, pour tout $x\in\mathbb{R}-\{1\}$.
• Etudier le signe de $g^{''}(x)$, en déduire la convexité de $g$ sur $\mathbb{R}-\{1\}$.

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Définition.

Proposition.

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $a$ si et seulemnt si $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$.