Fonctions dérivées, dérivées des fonctions usuelles.
Fonctions dérivées.
Fonctions dérivées des fonctions de références.
$f(x)=x^4$ , alors $f'(x)=4x^3$.- $f(x)=x^5$ , alors $f'(x)=5x^4$.
- $f(x)=x^{10}$ , alors $f'(x)=10x^9$.
Opérations sur les fonctions dérivées.
- Hypothèses:
Soit $u$ et $v$ seux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Prenons un réel $a$ dans $I$, nous savons que:
- $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$.
- $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$.
- Soit $h\not=0$ on a $\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\dfrac{[u(a+h)+v(a+h)]-[u(a)+v(a)]}{h}$
$=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]+[v(a+h)-v(a)]}{h}$ $=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}+\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}$.
Faisons tendre $h$ vers zéro, on a $\displaystyle\lim_{h\to 0}\Bigg(\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}+\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}\bigg)$ $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}+\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}=u'(a)+v'(a)$.
Donc la fonction $u+v$ est dérivable en $a$ on a: $(u+v)'(a)=u'(a)+v'(a)$ pour tout $a\in I$. Donc la fonction $u+v$ est dérivable sur $I$. - Soit $h\not=0$ on a $\dfrac{(u-v)(a+h)-(u-v)(a)}{h}=\dfrac{[u(a+h)-v(a+h)]-[u(a)-v(a)]}{h}$
$=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]-[v(a+h)-v(a)]}{h}$ $=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}-\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}$.
Faisons tendre $h$ vers zéro, on a $\displaystyle\lim_{h\to 0}\Bigg(\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}-\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}\bigg)$ $=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}-\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}=u'(a)-v'(a)$.
Donc la fonction $u-v$ est dérivable en $a$ on a: $(u-v)'(a)=u'(a)-v'(a)$ pour tout $a\in I$. Donc la fonction $u-v$ est dérivable sur $I$. - Soit $h\not=0$ on a $\dfrac{(\alpha\times u)(a+h)-(\alpha\times u)(a)}{h}=\dfrac{[\alpha\times u(a+h)-\alpha\times u(a)]}{h}$
$=\alpha\times\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}$.
Faisons tendre $h$ vers zéro, on a $\displaystyle\lim_{h\to 0}\Bigg(\alpha\times\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}\bigg)$ $=\alpha\times\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=\alpha\times u'(a)$.
Donc la fonction $\alpha\times u$ est dérivable en $a$ on a: $(\alpha\times u)'(a)=\alpha\times u'(a)$ pour tout $a\in I$. Donc la fonction $\alpha\times u$ est dérivable sur $I$. - On a $(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$ pour tout $x\in I$.
- On a $(u-v)'(x)=u'(x)-v'(x)$ pour tout $x\in I$.
- $f(x)=x^3+6x^2-3x+5$
- $f(x)=-5x^5-x^3-3x^2+5x$
- $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x^2+5$
- $\dfrac{3x+2}{5}+x^2$
- $\dfrac{3x^2-5x}{7}$
- $f(x)=x^{10}+6x^6-3x^3-8x+3$
- $f(x)=x^3+6x^2-3x+5$. Donc $f'(x)=3x^2+6(2x)-3=3x^2+12x-3$.
- $f(x)=-5x^5-x^3-3x^2+5x$. Donc $f'(x)=-5(5x^4)-3x^2-3(2x)+5=-25x^4-3x^2-6x+5$.
- $f(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+x^2+5$. Donc $f'(x)=-\dfrac{1}{3}\times 3x^2+2x=-x^2+2x$.
- $\dfrac{3x+2}{5}+x^2$. Donc $f'(x)=\dfrac{3}{5}+2x=2x+\dfrac{3}{5}$.
- $\dfrac{3x^2-5x}{7}$ Donc $f'(x)=\dfrac{3(2x)-5}{7}=\dfrac{6x-5}{7}$.
- $f(x)=x^{10}+6x^6-3x^3-8x+3$ Donc $f'(x)=10x^9+6(6x^5)-3(3x^2)-8=10x^9+36x^5-9x^2-8$.
- $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$.
- $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$.
- $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt{x}$.
- $f(x)=(x-1)^4$ pour tout $x\in\mathbb{R}$
- $f(x)=x\sqrt{x}=u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\sqrt{x}$
. On sait que:- La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
- La fonction $v$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
$f'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)=1\times\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}\times\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ $=\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\sqrt{x}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}$. - $f(x)=(x-2)^2\times (x-2)^2$ avec $u(x)=(x-2)^2$ et $v(x)=(x-2)^2$
On sait que:- La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Donc la fonction $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et
$f'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$.
$u'(x)=v'(x)=(x^2-4x+4)'=2x-4=2(x-2)$.
Donc $f'(x)=2(x-2)(x-2)^2+(x-2)^2\times(2(x-2))=2(x-3)^3+2(x-2)^3=4(x-2)^3$. - $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$.
- $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$.
- $f$ définie sur $\mathbb{R}-\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+5}{x-1}$.
- $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$
- $f(x)=\dfrac{2x+5}{x-1}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x)=2x+5$ et $v(x)=x-1$
. On sait que:- La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc sur $\mathbb{R}-\{1\}$.
- La fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc sur $\mathbb{R}-\{1\}$.
- $v(x)=(x-1)\not=0$ pour tout $x\in\mathbb{R}-\{1\}$.
$\Bigg(\dfrac{u}{v}\Bigg)^{'}(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{[v(x)]^2}$ $=\dfrac{2\times (x-1)-(2x+5)\times 1 }{(x-1)^2}$. $=\dfrac{2x-2-2x-5}{(x-1)^2}=\dfrac{-7}{(x-1)^2}$. - $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$ avec $u(x)=(x+1)$ et $v(x)=x^2+1$
On sait que:- La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
- De plus $v(x)=x^2+1>0$, $v(x)=x^2+1\not=0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
$\Bigg(\dfrac{u}{v}\Bigg)^{'}(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{[v(x)]^2}$.
$\Bigg(\dfrac{u}{v}\Bigg)^{'}(x)=\dfrac{1\times(x^2+1)-(x+1)\times (2x)}{(x^2+1)^2}$.
Donc $f'(x)=\dfrac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}$ $=\dfrac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$.
Définition.
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$ de $\mathbb{R}$ et soit $J$ une partie de $\mathbb{R}$ incluse dans $I$ ($J\subset I$).
On dit que la fonction $f$ est dérivable sur $J$ si elle est dérivable en tout point de $J$.
La fonction qui à tout nombre réel $x$ de $J$ associe le nombre réel $f^{'}(x)$(nombre dérivé de $f$ en $x$) est appelée la fonction dérivée de $f$ sur $J$, on note cette fonction $f^{'}$, on a:
$f^{'}:x\to f^{'}(x)$.
Exemple.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$ $f^{'}(x)=2x+1$.
DEMONSTRATION: Prenons un réel $a$ quelconque et montrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f^{'}(a)=2a+1$.
Pour tout $h\not=0$ on a $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{[(a+h)^2+(a+h)]-[a^2+a]}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2+a+h-a^2-a}{h}$ $=\dfrac{2ah+h+h^2}{h}=\dfrac{h(2a+1+h)}{h}=2a+1+h$.
Quand la valeur de $h$ se rapproche de $0$ la valeur de $2a+1+h$ se rapproche de la valeur $2a+1$.
On écrit: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\bigg(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\bigg)=2a+1$, pour tout $a\in\mathbb{R}$
Donc $f$ est dérivable en $a$ et ceci pour tout $a\in\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a l'égalité $f^{'}(x)=2x+1$.
Proposition.
Toute fonction affine $f:x\to mx+p$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est: $f^{'}:x\to m$ ou bien $f'(x)=m$.
Remarque
Dans le cas où $m=0$ on obtient que $f^{'}(x)=0$, c'est-à-dire que la fonction dérivée d'une fonction constante sur $\mathbb{R}$ est la fonction nulle.
Soit $h\not=0$, $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{[m(a+h)+p]-[ma+p]}{h}$ $=\dfrac{ma+mh+p-ma-p}{h}=\dfrac{mh}{h}=m$.
Quand la valeur de $h$ se rapproche de $0$ la valeur de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ reste égal à la constante $m$.
On écrit: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\bigg(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\bigg)=m$, pour tout $a\in\mathbb{R}$.
Théorème.
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$, est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a: $f'(x)=2x$.
Prenons un réel $a$ quelconque et montrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)=2a$.
Pour tout $h\not=0$ on a $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}$ $=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{h(2a+h)}{h}=2a+h$.
Quand la valeur de $h$ se rapproche de la valeur de $0$ alors la valeur de $2a+h$ se rapproche de la valeur $2a$.
On écrit: $\displaystyle\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$, donc nous avons pour tout $a\in\mathbb{R}$
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a$.
Donc $f$ est dérivable en $a$ et ceci pour tout $a\in\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Théorème.
La fonction $f:x\to x^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a: $f'(x)=3x^2$.
Prenons un réel $a$ quelconque et montrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)=3a^2$.
Pour tout $h\not=0$ on a $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^3-a^3}{h}$ $=\dfrac{[a^3+3ah^2+3a^2h+h^3]-a^3}{h}=\dfrac{3ah^2+3a^2h+h^3}{h}$
$=\dfrac{h(3a^2+3ah+h^2)}{h}=3a^2+3ah+h^2$.
Quand la valeur de $h$ se rapproche de la valeur de $0$ alors la valeur de $3a^2+3ah+h^2$ se rapproche de la valeur $3a^2$.
On écrit: $\displaystyle\lim_{h\to 0}(3a^2+3ah+h^2)=3a^2$, donc nous avons pour tout $a\in\mathbb{R}$
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=3a^2$.
Donc $f$ est dérivable en $a$ et ceci pour tout $a\in\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Dérivé d'une puissance.(admis en premiére)
Soit $n\in\mathbb{N}$, soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a: $f'(x)=nx^{n-1}$.
Exemples.
Théorème.
La fonction $f:x\to\dfrac{1}{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\{0\}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}-\{0\}$ on a: $f^{'}(x)=\dfrac{-1}{x^2}$.
Prenons un réel $a\not=0$ quelconque et montrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}$.
Pour tout $h\not=0$ tel que $a+h\not=0$, on a $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}}{h}$ $=\dfrac{\dfrac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}$.
Donc $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{-h}{a(a+h)}}{\dfrac{h}{1}}$ $=\dfrac{-h}{a(a+h)}\times\dfrac{1}{h}$ $=\dfrac{-1}{a(a+h)}$.
Quand la valeur de $h$ se rapproche de la valeur de $0$ alors la valeur de $\dfrac{-1}{a(a+h)}$ se rapproche de la valeur $-\dfrac{1}{a^2}$.
On écrit: $\displaystyle\lim_{h\to 0}(\dfrac{-1}{a(a+h)})=-\dfrac{1}{a^2}$, donc nous avons pour tout $a\in\mathbb{R}$
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=-\dfrac{1}{a^2}$.
Donc $f$ est dérivable en $a\not=0$ , donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\{0\}$.
Théorème.
La fonction $f:x\to\sqrt{x}$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout $x\in[0;+\infty[$ on a: $f^{'}(x)=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Prenons un réel $a>0$ quelconque et montrons que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
Pour tout $h>0$ tel que $a+h>0$, on a $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}$.
Puisque $h>0$ tel que $a+h>0$, le nombre $\sqrt{a+h}+\sqrt{a}>0$, donc n'est pas nul, on a donc l'égalité suivante:
$\dfrac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\dfrac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})\times(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})h}$
$=\dfrac{(\sqrt{a+h})^2-(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})h}$ $=\dfrac{a+h-a}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})h}$ $=\dfrac{h}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})h}=\dfrac{1}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$.
Donc $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{1}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$.
Quand la valeur de $h$ se rapproche de la valeur de $0$ alors la valeur de $\dfrac{1}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}$ se rapproche de la valeur $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
On écrit: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt{a+h}+\sqrt{a})}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$, donc nous avons pour tout $a>0$.
$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.
Donc $f$ est dérivable en $a\not=0$ , donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}-\{0\}$.
Somme et différence de deux fonctions dérivables.
Soit $u$ et $v$ seux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors la fonction $u+v$ et la fonction $u-v$ sont dérivables sur $I$:
Multiplication par une constante réelle.
Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$ et soit $\alpha$ un réel. La fonction $f=\alpha\times u$ est dérivable sur $I$.
On $f'(x)=\alpha\times u'(x)$ pour tout $x\in I$.
Exemples: dérivation des fonctions polynomiales.
Calculer $f'(x)$ pour chaque fonction $f$ définies sur $\mathbb{R}$ suivantes.
Produit de deux fonctions dérivables.
Soit $u$ et $v$ seux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $u\times v$ est dérivable sur $I$ et on a:
$\bigg(u\times v\bigg)'(x)=u'(x)\times v(x)+u(x)\times v'(x)$ pour tout $x\in I$.
Soit $u$ et $v$ seux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Prenons un réel $a$ dans $I$, nous savons que:
Remarque.
Nous sommes tous d'accord pour dire que pour tout nombres réels a,b et c on a: $a-b=a-c+c-b=(a-c)+(c-b)$.
Dans notre cas qui nous intérresse, nous allons inventer un nombre c qui va nous rendre
service
$\dfrac{[u(a+h)\times v(a+h)]-[u(a)\times v(a)]}{h}$ $=\dfrac{u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a+h)+u(a)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)}{h}$. Donc on a: $\dfrac{[u(a+h)\times v(a+h)]-[u(a)\times v(a)]}{h}$ $=\dfrac{[u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a+h)]+[u(a)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)]}{h}$
$=\dfrac{[u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a+h)]+[u(a)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)]}{h}$
$=\dfrac{[u(a+h)\times v(a+h)-u(a)\times v(a+h)]}{h}+\dfrac{[u(a)\times v(a+h)-u(a)\times v(a)]}{h}$
$=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}$.
remarque.
On verra plus tard que si une fonction est dérivable elle est aussi continue. c'est plutôt une condition préalable. c'est à dire, nous avons $\displaystyle\lim_{x\to 0}v(a+h)=v(a)$.
Donc $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{[u(a+h)-u(a)]}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\dfrac{[v(a+h)-v(a)]}{h}=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)$.
Donc la fonction $u\times v$ est dérivable en $a$ pour tout $a\in I$, donc $u\times v$ est dérivable sur $I$ et
$\bigg(u\times v\bigg)'(a)=u'(a)\times v(a)+u(a)\times v'(a)$.
Exemples: dérivation d'un produit de fonctions dérivables.
Calculer $f'(x)$ pour chaque fonction $f$ suivantes:
Soit $u$ et $v$ seux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Prenons un réel $a$ dans $I$, nous savons que:
$\dfrac{\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)(a+h)-\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{u(a+h)v(a)-u(a)v(a+h)}{v(a+h)\times v(a)}}{h}$
$=\dfrac{u(a+h)v(a)-u(a)v(a+h)}{h\times v(a+h)\times v(a)}$ $=\dfrac{u(a+h)v(a)-u(a)v(a)+u(a)v(a)-u(a)v(a+h)}{h\times v(a+h)\times v(a)}$ $=\dfrac{u(a+h)v(a)-u(a)v(a)}{h\times v(a+h)\times v(a)}+\dfrac{u(a)v(a)-u(a)v(a+h)}{h\times v(a+h)\times v(a)}$ $=\dfrac{(u(a+h)-u(a))\times v(a)}{h\times v(a+h)\times v(a)}+\dfrac{u(a)\times(v(a)-v(a+h))}{h\times v(a+h)\times v(a)}$ et on sait que $v(a)\not=0$ et $v(a+h)\not=0$.
Donc $\dfrac{\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)(a+h)-\bigg(\dfrac{u}{v}\bigg)(a)}{h}$ $=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h\times v(a+h)\times v(a)}\times v(a)-u(a)\times\dfrac{(v(a+h)-v(a))}{h\times v(a+h)\times v(a)}$ $=\dfrac{1}{v(a+h)\times v(a)}\times\bigg[\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a)-u(a)\times\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\bigg]$.
Remarque.
Quand $h$ tend vers zéro le nombre $\dfrac{1}{v(a+h)\times v(a)}$ se rapproche de $\dfrac{1}{[v(a)]^2}$.
On a donc:$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{v(a+h)\times v(a)}\times\bigg[\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a)-u(a)\times\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\bigg]$ $=\dfrac{u'(a)\times v(a)-u(a)\times v'(a)}{[v(a)]^2}$.
Donc la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable en $a$ pour tout $a\in I$, donc $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et
$\Bigg(\dfrac{u}{v}\Bigg)^{'}(a)=\dfrac{u'(a)\times v(a)-u(a)\times v'(a)}{[v(a)]^2}$.
Quotient de deux fonctions dérivables.
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et telle que pour tout $x\in I$ $v(x)\not=0$.
Alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et on a:
$\Bigg(\dfrac{u}{v}\Bigg)^{'}(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{[v(x)]^2}$ pour tout $x\in I$.
Exemples: dérivation d'un quotient de fonctions dérivables.
Calculer $f'(x)$ pour chaque fonction $f$ suivantes.
Inverse d'une fonction dérivable.
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et telle que pour tout $x\in I$ $u(x)\not=0$.
Alors la fonction $\dfrac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et on a:
$\Bigg(\dfrac{1}{u}\Bigg)^{'}(x)=-\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$ pour tout $x\in I.$
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et telle que pour tout $x\in I$ $u(x)\not=0$.
Posons $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$, appliquons la formule de la dérivée d'un quotient de deux fonctions dérivables.$f'(x)=\dfrac{0\times u(x)-1\times u'(x)}{[u(x)]^2}=\dfrac{-u'(x)}{[u(x)]^2}$.