Divisibilité, nombres premiers.
Divisibilité.
- 3 est un diviseur de 27, 27 est divisible par 3.
- 5 est un diviseur de 12565, 12565 est divisible par 5.
- 2 n'est pas un diviseur de 11, 11 n'est pas divisible par 2
- Tout nombre dont la somme des chiffres qui le composent est multiple de 3 ou de 9 est divisible par 3 ou 9.
- Tout nombre dont le chiffre des unités est 0 ou 5 divisible par 5.
- Un entier $d=\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}$ est divisible par 4 si et seulement si, l'entier $\overline{a_1a_0}$ est divisible par 4.
- Si $a$ divise $b$ $ (a\not=0)$ et si $b$ $(b\not=0)$divise $c$, alors $a$ divise $c$.
- Si $a$ divise $b$ alors $-a$ divise $b$.
- Soit $a, b\not=0$, si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$, alors $a=b$ ou $a=-b$.
- Si $a$ divise $b$ $ (a\not=0)$ alors il existe un entier relatif $k$, tel que $b=k\times a$.
De plus nous savons que $b$ $(b\not=0)$divise $c$, donc il existe un entier relatif $k'$, tel que $c=k'\times b$.
Donc $c=k'\times b=k'\times(k\times a)=(k\times k')\times a$. Il est clair que le nombre $k\times k'$ est un entier relatif et $a\not=0$.
Donc $a$ divise $c$. - Si $a$ divise $b$ $ (a\not=0)$ alors il existe un entier relatif $k$, tel que $b=k\times a$.
On a aussi, l'égalité $b=(-k)\times(-a)$ et $-k\in\mathbb{Z}$ avec $-a\not=0$, donc $-a$ divise $b$. - Si $a$ divise $b$ $ (a\not=0)$ alors il existe un entier relatif $k$, tel que $b=k\times a$.
Si $b$ divise $a$ $ (b\not=0)$ alors il existe un entier relatif $k$, tel que $a=k'\times b$.
Donc on a $b=k\times a=k\times k'\times b$ avec $b\not=0$ $\Leftrightarrow$ $k\times k'=1$.
$k$ et $k'$ étant des entiers relatifs ,les seules possibilités sont $k=k'=1$ ou $k=k'=-1$.
Donc on $a=b$ ou $a=-b$. - Si $c$ divise $a$ et $b$, alors $c$ divise $a+b$.
- Si $c$ divise $a$ et $b$, alors $c$ divise $a-b$.
- Nous savons que $c$ divise $a$, donc il existe $k\in\mathbb{Z}$, tel que $a=k\times c$.
Nous savons que $c$ divise $b$, donc il existe $k'\in\mathbb{Z}$, tel que $b=k'\times c$.
Donc $a+b=k\times c+k'\times c=(k+k')\times c$, il est clair que le nombre $k+k'$ est un entier relatif ($k+k'\in\mathbb{Z}$).
Donc $c$ divise aussi le nombre $a+b$. - Nous savons que $c$ divise $a$, donc il existe $k\in\mathbb{Z}$, tel que $a=k\times c$.
Nous savons que $c$ divise $b$, donc il existe $k'\in\mathbb{Z}$, tel que $b=k'\times c$.
Donc $a-b=k\times c-k'\times c=(k-k')\times c$, il est clair que le nombre $k-k'$ est un entier relatif ($k-k'\in\mathbb{Z}$).
Donc $c$ divise aussi le nombre $a-b$. Parité des nombres relatifs.
- On dit que $a$ est pair, si il existe un entier relatif $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=2k$.
Autrement dit $a$ est divisible par 2. - On dit que $a$ est impair, si il existe en entier relatif $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=2k+1$.
- Les nombres finissant par 0,2,4,6,8 sont pairs.
- Soit $n$ un entier relatif le nombre $8k+1$ est impair: $8k+1=2\times (4k)+1$ où $4k\in\mathbb{Z}$.
- Soit $n$ un entier relatif le nombre $4k$ est pair: $4k=2\times (2k)$ où $2k\in\mathbb{Z}$.
- Si $a$ est un nombre pair alors $a^2$ est pair.
- Si $a$ est un nombre impair alors $a^2$ est impair.
- Si $a^2$ est un nombre pair alors $a$ est pair.
- Si $a^2$ est un nombre impair alors $a$ est impair.
- Supposons que le nombre $a$ soit pair, il existe donc un entier relatif $k$, tel que $a=2\times k$.
On a $a^2=(2k)^2=4k^2=2\times(2k^2)$. Il est clair que le nombre $2k^2$ est un entier, donc $a^2$ est divisible par $2$, donc $a^2$ est pair. - Supposons que le nombre $a$ soit impair, il existe donc un entier relatif $k$, tel que $a=2\times k+1$.
On a $a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2\times(2k^2+2k)+1$. Il est clair que le nombre $2k^2+2k$ est un entier, donc $a^2=2K+1$ avec $K=2k^2+2k\in\mathbb{Z}$, donc $a^2$ est impair. - Supposons que $a^2$ soit pair. Faisons un raisonnement par l'absurde.
Supposons de plus que $a$ soit $impair$. Si $a$ est impair alors on sait que $a^2$ est impair, or nous avons supposé plus haut qu'il était pair, c'est donc impossible.
Conclusion: $a$ est nécéssairement pair. - Supposons que $a^2$ soit impair. Faisons un raisonnement par l'absurde.
Supposons de plus que $a$ soit $pair$. Si $a$ est pair alors on sait que $a^2$ est pair, or nous avons supposé plus haut qu'il était impair, c'est donc impossible.
Conclusion: $a$ est nécéssairement impair. Nombres premiers.
- Un entier naturel distinct de $1$ $p\not=1$ est premier s'il admet exactement deux diviseurs (dans $\mathbb{N}$), 1 et lui-même.
- un entier distinct de 1 et non premier est dit composé.
- Par exemple $8$ n'est pas premier il est composé.
- Voici la liste des nombres premiers inférieur à 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Liste des nombres premiers inférieurs ou égal à $\sqrt{101}\approx 10$, est: 2; 3; 5; 7.
Aucun de ces nombres divisent 101 (vous pouvez vérifier avec la calculatrice). Donc 101 est premier. - Liste des nombres premiers inférieurs ou égal à $\sqrt{127}\approx 11,27$, est: 2; 3; 5; 7; 11.
Aucun de ces nombres divisent 127(vous pouvez vérifier avec la calculatrice). Donc 127 est premier. - La somme des chiffres de 111111 est égal à 6.
6 est divisible par 3, donc d'après le critére de divisibilité par 3, le nombre 111111 est divisible par 3, donc n'est pas premier. - $\sqrt{6551}\approx80,94$ la liste des nombres premiers inférieurs ou égal à $\sqrt{6551}$, est: 2; 3; 5; 7;
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79
A l'aide de la calculatrice on vérifie qu'aucun de ces nombres premiers divisent 6551; donc 6551 est premier lui même. 
101- 127
- 111111
- 6551
Définition.
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
Si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$, on dit que $a$ est un multiple de $b$.
Si de plus $b\not=0$, on dit que $b$ est un diviseur de $a$. Dans ce cas, on dit également que $a$ est divisible par $b$, ou que $b$ divise $a$.
Exemples.
Quelques critères de divisibilité.
Ces propriétés sont admises en classe de seconde.
Proposition.
Proposition.
Définition.
Exemples.
Propriétés.
Définition (rappel).
Exemples.
Rechercher la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier naturel $N$.
Regarde si un nombre est premier.
Voici les diviseurs positif possibles:
Test de primalité.
Si un entier $n$ n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à sa racine carrée, il est alors premier.
Cette propriété est admise en classe de seconde.
Exercices.
Dire si les nombres suivants sont premiers ou non premiers.